Simmetria e gravità

Liberamente tratto da questa discussione.

Il modello standard è un modello perfettamente predittivo per quanto riguarda le interazioni elettromagnetiche, deboli e forti. Tuttavia nella sua versione “semplice” non prevede la massa delle particelle. Perchè?

Nelle teorie di fisica moderna sono fondamentali le “simmetrie”. Tutte le leggi di conservazione (impulso, energia, spin, momento angolare, numero barionico, numero leptonico) sono conseguenza della presenza di alcune simmetrie. Poiche’ sperimentalmente si osserva la conservazione di queste quantità, è fondamentale che la teoria abbia le relative simmetrie. Senza la massa, la teoria ha le simmetrie richieste, le quantità sono conservate, e la teoria concorda con l’esperimento.
Nel momento in cui si aggiunge la massa alla teoria, si rompono alcune delle fondamentali simmetrie e la teoria non è più coerente con l'esperimento. Quindi bisogna riflettere: senza la massa le interazioni vengono descritte perfettamente. Aggiungendo la massa la teoria non descrive più correttamente le interazioni.
Eppure la massa in natura esiste! Come si risolve il problema?

E' ovvio che il termine di massa deve essere aggiunto. Bisogna trovare solo il modo per farlo senza distruggere le simmetrie.
Se viene aggiunto il termine di massa che "rompe la simmetria", dovrà essere aggiunto un altro termine, un nuovo termine, il quale si comporta nel modo opposto rispetto al termine di massa, per quella particolare simmetria: i due effetti sono uguali e opposti, si elidono, e abbiamo una teoria con la massa in cui le simmetrie sono conservate.

Nelle teorie attualmente in corso di sperimentazione e verifica il nuovo termine è il cosiddetto bosone di Higgs e il meccanismo con cui viene conferita massa alle particelle elementari è, appunto, il “meccanismo di Higgs”.

Esistono, pero’, altri modi, formalmente molto più eleganti, per ottenere tale risultato attraverso il principio della “rottura spontanea di simmetria”.

Il modo più semplice per capire cosa si intenda è applicarlo alla“catena di spin”.

La catena di spin (unidimensionale) è il modello che rappresenta un magnete elementare (unidimensionale).

Si immagini una serie di punti (nodi) su una retta cui corrisponda una successione di numeri interi a ciascuno dei quali si associa uno “spin”, che può valere + o -.

.... + + - - + - + - - + + + - - - + - ++ - - + - + - ....

A questo modello aggiungiamo una dinamica ovvero facciamo fluttuare questi nodi nel tempo in modo dipendente dalla temperatura, secondo la dinamica decisa da una certa legge matematica.

Abbiamo un modello per il quale, a temperatura molto alta, la probabilità per ogni nodo di essere + o - è al 50%. In questa fase, infatti, la temperatura (agitazione termica) vince completamente sulla magnetizzazione (l'interazione dei nodi vicini è troppo scarsa rispetto all'agitazione termica).
Se, quindi, mediamo gli spin e chiamiamo la media magnetizzazione M, otteniamo il valore M = 0.

Diminuendo la temperatura la condizione M = 0 si conserva fino a una certa temperatura critica Tc. Al di sotto della temperatura critica, l'agitazione termica non è più sufficiente a far oscillare lo spin in modo casuale e, quindi, iniziano a formarsi delle zone tutte positive o tutte negative (l'interazione tra nodi vicini inizia a vincere sull'agitazione termica). L'agitazione termica agisce ancora, anche se in modo inferiore.
Quindi la magnetizzazione M è diversa da zero (ad esempio, appena sotto la temperatura critica, potrebbe valere M = 0,1).

Scendendo ancora con la temperatura, avvicinandosi a T = 0, l'agitazione termica è sempre più debole, le fluttuazioni casuali sempre meno probabili e la catena di spin tende al valore M = 1 (o -1, a seconda del caso deciso dalle fluttuazioni attorno alla transizione T = Tc).

Ricapitolando:

T > Tc : M = 0 ;
T = Tc : transizione di stato, in cui gli spin iniziano ad accoppiarsi ;
T < Tc : M diverso da 0 (M tende a +1 o a -1 per T = 0).

Abbiamo quindi un fenomeno di magnetizzazione spontanea per T < Tc.

Dove sta la rottura spontanea di simmetria? E, sopratutto, di quale simmetria stiamo parlando?
La simmetria è sempre rispetto ad una trasformazione.
In questo caso, la trasformazione consiste nell'invertire il segno di ogni spin:

+ ----> -
- ----> +

E' chiaro che nella fase T > Tc, siccome i + e i - sono distribuiti casualmente, la magnetizzazione M resterà nulla. Quindi il sistema è simmetrico rispetto a questa trasformazione.

Lo stesso non si può dire per la fase T < Tc. Essendo infatti M diversa da 0, applicando la stessa trasformazione

+ ----> -
- ----> +

si avrà che

M ----> -M

e, quindi, la trasformazione non è piu’ una simmetria per il sistema.

Si è verificata una rottura spontanea di simmetria.

Questo meccanismo è alla base delle variazioni di fase nei sistemi termodinamici.

Nell’esempio gli spin rapresentano i momenti “giromagnetici” degli elettroni ovvero i “quarti numeri quantici” che definiscono il principio di esclusione di Pauli per il quale nelle configurazioni stabili di ottetto degli elementi chimici gli ultimi due elettroni degli orbitali esterni devono avere spin semiinteri uguali e opposti (+ ½ e – ½) ; ovvero, se consideriamo gli elettroni particelle localizzate, questi devono ruotare attorno al proprio asse uno in un verso e uno nell'altro per dare due campi magnetici uguali e opposti. In realtà gli elettroni che occupano gli orbitali atomici non appaiono propriamente come particelle localizzate. Il principio di indeterminazione di Heisemberg, che è alla base di tutta la Meccanica Quantistica, afferma che non è possibile determinare con certezza la posizione e la quantità di moto di un elettrone. Queste, infatti, sono definite dalle possibili soluzioni (autovalori) della funzione d'onda di probabilità di Shroedinger o, come si suol dire, dal "collasso" della funzione d'onda in uno dei possibili "autostati" del sistema quantistico considerato (la posizione e la quantità di moto dell’elettrone in questo caso). L’orbitale atomico è da considerare, appunto, un’area di distribuzione di densità di probabilità di trovare l’elettrone ad una certa distanza dal nucleo. L’integrale di tale area è 1 (condizione di “normalizzazione”) e rappresenta la “sommatoria” delle probabilità della presenza dell’elettrone attorno al nucleo che è la certezza matematica.

Lo stato quantistico “collassato” (autostato) è la causa dello stato fisico osservato nel sistema macroscopico.

Pertanto rotture di simmetria quantistiche determinano variazioni di stato nei sistemi fisici macroscopici e, quindi, anche transizioni di fase nei sistemi termodinamici. Tornando ai momenti giromagnetici e considerando in luogo della catena di spin una “rete di spin” perfettamente simmetrica, omogenea e isotropa (tanti + e - disposti secondo un reticolo spaziale tridimensionale e ordinatamente alternati) otterremo un campo magnetico “potenziale”. Sostituendo anche un solo + con un – si ha una rottura di simmetria e l’innesco di un effetto "domino" che si traduce nel passaggio da campo potenziale a campo “in atto” ovvero che manifesta le sue proprietà (la magnetizzazione con le relative linee di forza in questo caso).

Vediamo un altro esempio di trasformazione. Prendiamo un sistema planetario a due corpi. L'energia potenziale che descrive il sistema è centrale, ovvero dipende solo dalla distanza dei due corpi e non dalla posizione assoluta.
Una possibile trasformazione è "avvicinare o allontanare radialmente i due oggetti" oppure "ruotare un oggetto attorno all'altro, mantenendo la distanza costante".
Entrambe sono trasformazioni, ma solo la seconda è una simmetria perchè il potenziale, che contiene tutte le informazioni necessarie a descrivere il sistema, non varia a meno che non cambi la distanza radiale. Sappiamo, grazie al teorema di Noether, che ad ogni simmetria corrisponde una quantità conservata.Il teorema ci permette di calcolare questa quantità partendo dalla simmetria. Applicando il teorema all'esempio citato, otteniamo come quantità conservata il momento angolare. La stessa identica procedura la si applica anche a livello quantistico: ad ogni simmetria, corrisponde una quantità conservata.
Impulso, energia, ma non solo: anche tutti i numeri quantici. numero leptonico, numero barionico, spin e così via sono tutte quantità che risultano conservate come conseguenza della presenza di simmetria nel modello standard.

La simmetria precedentemente descritta per la rete di spin puo’ essere estesa a una qualunque distribuzione di sorgenti di energia/impulso e, per esempio, descrivere anche un campo gravitazionale quando tale simmetria venga a rompersi. In tal caso, pero’, le sorgenti di energia gravitazionale sarebbero di natura elettromagnetica e l’energia sprigionata dalla rottura di simmetria sarebbe tanto maggiore quanto piu’ fitto fosse il reticolo tridimensionale. Considerando, infatti, l’elettrone un’onda e non una particella, l’energia associata al campo elettromagnetico sarebbe E = hv, con h costante di Planck e v frequenza di oscillazione (Hz) del campo, tanto maggiore quanto piu’ stretta è la lunghezza d’onda. La simmetria dell’interferenza tra onde trasversali di uguali ampiezza frequenza e fase generebbe onde stazionarie e, quindi, renderebbe il campo solo potenziale. La rottura di simmetria della rete di spin, causata anche da una piccola variazione di frequenza, fase o ampiezza di oscillazione, libererebbe l’energia potenziale imbrigliata nel reticolo/matrice tridimensionale, dando luogo alle linee di forza del campo gravitazionale che, ovviamente, sarebbe dinamico.

La matrice/reticolo, pero’, rappresenterebbe solo un’approssimazione “discreta” di una realtà fisica sottostante costituita da un “continuum” di materia/energia distribuita sotto forma di onde.

La rete di spin, quindi, potrebbe risultare utile per definire un modello matematico/geometrico di calcolo semplificato che descriva formalmente il campo.

Stefano Gusman.