Il paradosso del "disco rigido"

Conosciuto anche come il “Paradosso di Ehrenfest”, riguarda un (ipotetico) disco rigido perfetto in rapida rotazione attorno al proprio asse. Secondo alcune interpretazioni della relatività, il perimetro del disco deve contrarsi, restando invariato il raggio. Per questo motivo il disco dovrebbe frantumarsi quando ruota troppo velocemente.Nella sua formulazione originale, presentata da Paul Ehrenfest nel 1909 ne la Physikalische Zeitschrift, il paradosso presenta il caso di un cilindro rigido ideale posto in rotazione attorno al suo asse di simmetria. Il raggio R “visto” dal laboratorio è sempre perpendicolare al moto e per questo dovrebbe mantenere il suo valore uguale a quello R₀ quando il cilindro è fermo. Comunque la circonferenza (2πR) dovrebbe apparire contratta secondo il “fattore di Lorenz” γ. Questo porta alla contraddizione che : R=R₀ e R < R₀. Ogni oggetto rigido fatto di un materiale reale, posto in rotazione con velocità tangenziale prossima alla velocità del suono in quel materiale, deve superare il punto di rottura dovuto alla forza centrifuga. Percio’ il caso della velocità della luce è solo un esperimento “ideale”.

Essenza del paradosso. Si immagini un disco rigido di raggio R, posto in rotazione con velocità angolare ω costante. Fissiamo il sistema di riferimento nel centro del disco. La velocità tangenziale di ogni punto della circonferenza è ωR. Quindi la circonferenza dovrebbe essere soggetta alla contrazione di Lorenz secondo il fattore (1- (ω R)^2/c^2)^0,5. In ogni caso il raggio, essendo perpendicolare alla direzione di moto, non sarà soggetto ad alcuna contrazione, cosi’ abbiamo : Circonferenza/diametro = (2πR (1- (ω R)^2/C^2)^0,5) / 2R = π (1- (ω R)^2/C^2)^0,5, il che è paradossale in quanto la geometria euclidea ci dice che dovrebbe essere esattamente pari a π.La discrepanza notata da Ehrenfest suggerisce che un disco rigido in rapida rotazione attorno al proprio asse dovrebbe disintegrarsi.

Soluzione del paradosso.
La maniera piu’ semplice per analizzare il problema è quella di considerarlo secondo la prospettiva della simultaneità. Non c’è modo di definire la simultaneità per l’intero disco rotante. In termini piu’ semplici, se noi sincronizziamo un orologio stando al centro del disco con un orologio posto al perimetro del disco quando è fermo e, successivamente, poniamo il disco in rotazione, i due orologi si desincronizzeranno, proprio come gli orologi del paradosso dei gemelli. Un osservatore posto al centro del disco e uno sul perimetro non saranno mai d’accordo sulla distanza coperta durante una rivoluzione. La ragione è che quando due osservatori non possono essere d’accordo sul tempo non lo potranno essere sulle lunghezze misurate di oggetti in movimento.

Interpretazione della soluzione al paradosso in MT.Quanto esposto avvalora ulteriormente le considerazioni esposte nella MT in merito all’effettiva consistenza fisica delle distorsioni spazio – temporali sia in RS che in RG. Si tratta, in ogni caso, di contrazioni spaziali e dilatazioni temporali misurate tra sistemi di riferimento (inerziali o non inerziali) diversi. Nel sistema di riferimento locale non viene apprezzata alcuna desincronizzazione e, quindi, non sussistono nemmeno le contrazioni delle lunghezze.
Di conseguenza non esiste alcun gradiente di curvatura nella struttura del disco rigido che, pertanto, non va in frantumi.Tanto comporta che l’attribuire il moto di caduta libera e quindi il peso dei corpi alla curvatura dello spazio – tempo resta un postulato arbitrario.

Stefano Gusman