skip to main |
skip to sidebar
Due osservatori, uno in una stazione S e l'altro su un treno superveloce S' che si muove a velocità v, vogliono misurare la durata di un fenomeno fisico (cioè la separazione temporale tra due eventi), naturalmente ognuno dal suo sistema di riferimento. Essi utilizzano un orologio a luce, formato da due specchi piani posti parallelamente a una distanza verticale nota d; un raggio luminoso che si muove lungo l'asse degli specchi si riflette alternativamente su di essi e il tempo occorrente per l'andata e il ritorno della luce sullo stesso specchio costituisce il periodo dell'orologio. Il periodo dell'orologio (misurato da un osservatore in quiete rispetto all'orologio) è T0 = 2 d / c. L'intervallo di tempo T0 rappresenta la separazione temporale tra due eventi: l'evento partenza e l'evento arrivo del raggio luminoso sullo specchio inferiore.Per un osservatore in quiete, i due eventi hanno separazione spaziale nulla. La separazione temporale di due eventi con separazione spaziale nulla si dice tempo proprio. Poiché sia nel riferimento S, sia nel riferimento S' ci sono due orologi a luce identici, i due osservatori misurano lo stesso intervallo di tempo ognuno nel proprio riferimento. Ma cosa avviene se l'osservatore nella stazione S prova a fare una misura di tempo mediante l'orologio a luce che si trova nel treno S' ? Per l'osservatore in S, l'orologio si muove con velocità v lungo le rotaie, quindi la luce percorre, tra andata e ritorno, una linea a zig-zag di lunghezza 2L maggiore di 2d.
Poiché la luce ha sempre velocità c in qualsiasi riferimento inerziale, il periodo T' dell'orologio in moto è allora (per S):T' = 2 L / c > T0. Il periodo T' dell'orologio in moto è maggiore del tempo proprio T0: l'orologio in moto batte quindi un tempo più lento rispetto a quello in quiete. Si noti che ciò non è affatto vero per il passeggero sul treno che anzi può, per la stessa ragione, affermare che è l'orologio nella stazione a essere più lento! In questa affermazione che può sembrare paradossale c'è tutto il significato del principio di relatività: le leggi della fisica sono eguali per tutti i riferimenti inerziali, nel senso che ognuno dei due osservatori afferma che l'orologio in moto rallenta.
Tutto cio’, con semplici considerazioni geometriche, si puo’ riassumere nella formula :
(1) : delta tau = delta t x (1 – ( v/c)^2)^0,5
nota come formula per la dilatazione dei tempi negli orologi in moto, essendo delta tau = T0 e delta t = T'.
Dalla (1), considerando questa volta il raggio di luce diretto secondo la direzione del moto, si ricava con semplici passaggi la
(2) : l = lambda x (1- (v/c)^2) ^0,5
detta formula per la contrazione delle lunghezze di Lorentz-Fitzgerald, che esprime il concetto simmetrico della contrazione, secondo la direzione del moto, della lunghezza l dell’orologio a luce, misurata dalla stazione, rispetto alla lunghezza effettiva λ.
La contrazione delle lunghezze è perfettamente simmetrica alla dilatazione dei tempi.
La (1) e la (2) sono le formule fondamentali della Relatività Speciale.
Marius, che è un tipo curioso, ha piu’ volte domandato agli esperti del settore (non senza malizia) : ma la dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezze sono reali o si tratta di “effetti speciali" ?
La risposta è stata :
“In fisica è reale cio’ che è misurabile e quindi la dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezze sono effettive”.
Ma vediamo cosa comporta la precedente affermazione.
In assenza di campo gravitazionale, lo spazio-tempo non è curvo (è lo spazio-tempo piatto di Minkowski) ; in esso possono essere scelti infiniti sistemi di riferimento inerziali e fra di essi valgono la Relatività Speciale e le trasformate di Lorentz. Un generico spazio curvo ha una proprietà molto importante che lo raccorda, per così dire, al più familiare spazio piatto euclideo. Per quanto esso possa essere incurvato, è sempre possibile considerarne una porzione nella quale esso sia praticamente piatto. Si può capire meglio il concetto considerando la superficie terrestre. Essa è uno spazio (varietà) bidimensionale curvo in cui sono definibili coordinate curvilineee quali la latitudine e la longitudine. In grande scala la curvatura della superficie terrestre è ineliminabile e gli effetti di ciò sono ben visibili a tutti. Per un muratore che sta costruendo una casa, invece, la superficie terrestre è piatta ed egli non si pone neppure il problema. In ogni spazio-tempo curvo è sempre possibile scegliere un sistema di coordinate curvilinee rispetto alle quali lo spazio-tempo è localmente piatto ed inerziale (spazio-tempo di Minkowski). Per fare questo è sufficiente immaginare un corpo che cade liberamente in un campo gravitazionale. Rispetto a questo corpo gli altri corpi liberi che cadono con lui, per un tempo limitato, appaiono soddisfare la legge d'inerzia. Quelli fermi permangono fermi, quelli in moto uniforme permangono in tale moto. Rispetto a quel sistema di riferimento in caduta per un breve tempo, lo spazio-tempo è quello piatto di Minkowski . Hanno esperienza di ciò gli astronauti quando sono parcheggiati in orbite terrestri stazionarie (in effetti è come se cadessero liberamente). All'interno delle loro navicelle essi esperimentano la gravità zero. Qui sulla terra è possibile verificare quanto detto per breve tempo quando, per esempio, un aereo prende un vuoto d'aria o in certi giochi al lunapark. Il fatto che lo spazio-tempo sia incurvato dalle masse che vi creano il campo gravitazionale è un concetto al di fuori dell'esperienza comune. In uno spazio curvo non valgono le regole e le proprietà della geometria euclidea, che è la geometria della nostra vita quotidiana. Per chiarire meglio questo concetto consideriamo un sistema di riferimento inerziale K ed un sistema di riferimento K' non inerziale in rotazione uniforme rispetto a K. Consideriamo anche una circonferenza solidale con K : Rispetto a K il rapporto fra la circonferenza in quiete ed il suo diametro è π. Rispetto a K' che ruota in senso antiorario la circonferenza viene vista ruotare in senso orario. Ogni piccolo segmento della circonferenza viene visto da K' muoversi con una certa velocità v. In un certo istante ogni piccolo segmento di cui è formata la circonferenza viene visto contrarsi rispetto a K' secondo la legge della contrazione di Lorentz per cui il rapporto fra circonferenza e diametro è, rispetto a K', diverso da π (il diametro non subisce la contrazione di Lorentz perchè non si muove rispetto a K' nel senso della sua lunghezza).
Con questo semplice esempio si dimostra che lo spazio rispetto ad un sistema di riferimento accelerato non è piatto ma è curvo, in quanto non valgono più le regole della geometria euclidea e ricordando la precedente affermazione : "in fisica è reale cio’ che è misurabile" ne derivea che la dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezze sarebbero effettive (o, il che è equivalente, assolute) e, quindi, si puo’ affermare che poichè un campo gravitazionale è equivalente a un sistema di riferimento accelerato, lo spazio-tempo viene incurvato da un campo gravitazionale.
E’ questo il principio fondamentale della Relatività Generale : la forza peso deriva dalla curvatura indotta dalle masse nello spazio – tempo.
A questo punto Marius, che si è sempre chiesto quale potesse essere la reale natura della forza di gravità, avrebbe potuto ritenersi soddisfatto, ma fortunatamente non è andata cosi’.
Stefano Gusman
Two observers, one in the S station and the other on board to a super fast train S’ that is going on with v speed, want to measure the duration of a physical phenomenon (that is temporal separation between two events) obviously each of them from his reference system. They use a light clock made up by two plane mirrors put at a known vertical distance d; a light beam that moves all along the axis of the mirrors reflects alternatively on them and the time required to go and return on the same mirror is the period of the clock.
The period of the clock (measured by an observer in quiet respect to the clock) is T0 = 2d/c.
The interval of time T0 is the temporal separation between two events : the event departure and the event arrival of the light beam on the lower mirror.
For an observer in quiet the two events have zero spatial separation. The temporal separation of two events with zero spatial separation is said "own time".
Since that both in S and in S’ there are two equal light clocks, the two observers measure the same temporal interval each of them in his reference system.
But what happens if the observer in S station tries to make a measure of time with light clock that stands in S’ train ? For the observer in S, the clock moves on with v speed, so light covers from departure to return, a zig zag line with lenght 2L greater then 2d.
Since that light has always c speed in every inertial reference system the T’ period of the clock on move (for S) is : T' = 2 L / c > T0 . So the T’ period of clock on move is greater then the one of the standing clock.
Let we see that this thing is not true for the passenger on board of the train that can, for the same reason, say that the clock in the station is slower!
In this statement, that can seems paradoxical, there is all the meaning of Special Relativity principle : the physical laws are the same for all inertial reference systems, that is that each of the two observers says that clock in motion slows down.
All of this can summarize, with simple geometrical considerations, with the formula :
(1) : delta tau = delta t x (1 – ( v/c)^2)^0,5, being delta tau = T0 and delta t = T'.
known as formula for the time dilatation in the clocks in motion.
From the (1), considering this time the light beam directed all along the motion, we get out, with simple passages, the
(2) : l = lambda x (1- (v/c)^2) ^0,5
said Lorentz - Fitzgerald's lenghts contractions formula that expresses the symmetric concept of the light clock lenght contraction l, measured from the station all along the direction of motion, respect to the effective length λ. The lenghts contraction is perfectly symmetrical to the time dilatation.
The (1) and (2) are the Special Relativity fundamental formulas.
Marius, that is a curious type, asked more time to "experts" of the sector (not without some malice) if time dilatation and lenghts contractions were real or they were only “special effects”.
The answer is been : “in physics is real what is measurable, so time dilatations and lenghts contraction are real.”
But let's see what the last statement entails.
Without gravitational fields space time isn’t curved (it is the Minkowsky’s plane space – time) ; in it can be chosen infinite inertial reference systems and between them are valid Special Relativity and Lorentz transformations. A general curved space – time has a much important property that connects it, as we can say, to the most familiar euclideus plane space. As far as it could be curved, it’s always possible to consider a little portion of it where it's practically plane. We can better understand this concept considering earthly surface. It's a two dimensional space (variety) curved where we can define curvilinear coordinates as latitude and longitude. In great scale we can’t take away the curvature of earthly surface and the effects are well visible to all. Instead for a mason building an house earthly surface is plane and he doesn’t mind of the problem. In every curved space – time it's always possible to choose a reference system respect on which space – time is locally plane and inertial (Minkowski’s space – time).
To do it is sufficient to imagine a body that falls down free in a gravitational field. Respect to this body, for a limited time, the other free bodies falling down with it look to satisfy the inertia law. The ones standing keep standing, the ones in uniform motion get on in this way. Respect to this reference system, falling down for a short time, space – time is the plane Minkowski’s one of SR. The astronauts have experience of this when they are parked on earthly stationary orbits (In effect it is the same thing as they really would fall down freely). In their space craft they test zero gravity. Here on the Earth is possible to verify this for a short time when, for example, an airplane gets an air vacuum or in some games at lunapark.
The fact that space – time is curved by masses that create gravitational field is a concept outside commune experience. In a curved space – time are invalid the rules and the properties of euclideus geometry, that is the geometry of our daily life.
To clarify better this concept let's consider an inertial reference system K and a not inertial reference system K’ in uniform rotation respect to K. Let's consider also a circumference tied with K.
Respect to K the fraction between the circumference and its diameter is π. Respect to K’, that rotates in a clockwise direction, the circumference is seen rotating in the opposite way. Every little segment of the circumference is seen from K’ moving on with v speed. For some instant every little segment by which is made up the circumference is seen contracting respect to K’ in accord with the Lorentz contraction law for which the fraction between circumference and its diameter is, respect to K’, unequal of π (diameter doesn’t be subjected to the Lorentz contraction for the reason that it doesn’t move respect to K’ in the sense of its length).
This simple example shows that space, respect to an accelerated reference system, is not plane but is curved, for the reason that are not valid the rules of euclideus geometry and so, remembering the precedent statement : “in physics is real what is measurable", we could say that time dilatation and lenght contraction are real (or, that is the same thing, absolute) and that since a gravitational field is equivalent to an accelerated reference system, space – time is curved by a gravitational field.
This is the fundamental principle of General Relativity : weight force is due to the curvature induced by masses in the space – time.
At this point Marius, that always wondered what could be the real nature of gravity force, could have had satisfied, but fortunately things didn’t go in this way.
Stefano Gusman
