L'orologio a luce : realtà o illusione ?

Due osservatori, uno in una stazione S e l'altro su un treno superveloce S' che si muove a velocità v, vogliono misurare la durata di un fenomeno fisico (cioè la separazione temporale tra due eventi), naturalmente ognuno dal suo sistema di riferimento. Essi utilizzano un orologio a luce, formato da due specchi piani posti parallelamente a una distanza verticale nota d; un raggio luminoso che si muove lungo l'asse degli specchi si riflette alternativamente su di essi e il tempo occorrente per l'andata e il ritorno della luce sullo stesso specchio costituisce il periodo dell'orologio. Il periodo dell'orologio (misurato da un osservatore in quiete rispetto all'orologio) è T0 = 2 d / c. L'intervallo di tempo T0 rappresenta la separazione temporale tra due eventi: l'evento partenza e l'evento arrivo del raggio luminoso sullo specchio inferiore.Per un osservatore in quiete, i due eventi hanno separazione spaziale nulla. La separazione temporale di due eventi con separazione spaziale nulla si dice tempo proprio. Poiché sia nel riferimento S, sia nel riferimento S' ci sono due orologi a luce identici, i due osservatori misurano lo stesso intervallo di tempo ognuno nel proprio riferimento. Ma cosa avviene se l'osservatore nella stazione S prova a fare una misura di tempo mediante l'orologio a luce che si trova nel treno S' ? Per l'osservatore in S, l'orologio si muove con velocità v lungo le rotaie, quindi la luce percorre, tra andata e ritorno, una linea a zig-zag di lunghezza 2L maggiore di 2d.
Poiché la luce ha sempre velocità c in qualsiasi riferimento inerziale, il periodo T' dell'orologio in moto è allora (per S):T' = 2 L / c > T0. Il periodo T' dell'orologio in moto è maggiore del tempo proprio T0: l'orologio in moto batte quindi un tempo più lento rispetto a quello in quiete. Si noti che ciò non è affatto vero per il passeggero sul treno che anzi può, per la stessa ragione, affermare che è l'orologio nella stazione a essere più lento! In questa affermazione che può sembrare paradossale c'è tutto il significato del principio di relatività: le leggi della fisica sono eguali per tutti i riferimenti inerziali, nel senso che ognuno dei due osservatori afferma che l'orologio in moto rallenta.
























Tutto cio’, con semplici considerazioni geometriche, si puo’ riassumere nella formula :

(1) : delta tau = delta t x (1 – ( v/c)^2)^0,5
nota come formula per la dilatazione dei tempi negli orologi in moto, essendo delta tau = T0 e delta t = T'.

Dalla (1), considerando questa volta il raggio di luce diretto secondo la direzione del moto, si ricava con semplici passaggi la

(2) : l = lambda x (1- (v/c)^2) ^0,5
detta formula per la contrazione delle lunghezze di Lorentz-Fitzgerald, che esprime il concetto simmetrico della contrazione, secondo la direzione del moto, della lunghezza l dell’orologio a luce, misurata dalla stazione, rispetto alla lunghezza effettiva λ.

La contrazione delle lunghezze è perfettamente simmetrica alla dilatazione dei tempi.

La (1) e la (2) sono le formule fondamentali della Relatività Speciale.

Marius, che è un tipo curioso, ha piu’ volte domandato agli esperti del settore (non senza malizia) : ma la dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezze sono reali o si tratta di “effetti speciali" ?
La risposta è stata :

“In fisica è reale cio’ che è misurabile e quindi la dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezze sono effettive”.

Ma vediamo cosa comporta la precedente affermazione.

In assenza di campo gravitazionale, lo spazio-tempo non è curvo (è lo spazio-tempo piatto di Minkowski) ; in esso possono essere scelti infiniti sistemi di riferimento inerziali e fra di essi valgono la Relatività Speciale e le trasformate di Lorentz. Un generico spazio curvo ha una proprietà molto importante che lo raccorda, per così dire, al più familiare spazio piatto euclideo. Per quanto esso possa essere incurvato, è sempre possibile considerarne una porzione nella quale esso sia praticamente piatto. Si può capire meglio il concetto considerando la superficie terrestre. Essa è uno spazio (varietà) bidimensionale curvo in cui sono definibili coordinate curvilineee quali la latitudine e la longitudine. In grande scala la curvatura della superficie terrestre è ineliminabile e gli effetti di ciò sono ben visibili a tutti. Per un muratore che sta costruendo una casa, invece, la superficie terrestre è piatta ed egli non si pone neppure il problema. In ogni spazio-tempo curvo è sempre possibile scegliere un sistema di coordinate curvilinee rispetto alle quali lo spazio-tempo è localmente piatto ed inerziale (spazio-tempo di Minkowski). Per fare questo è sufficiente immaginare un corpo che cade liberamente in un campo gravitazionale. Rispetto a questo corpo gli altri corpi liberi che cadono con lui, per un tempo limitato, appaiono soddisfare la legge d'inerzia. Quelli fermi permangono fermi, quelli in moto uniforme permangono in tale moto. Rispetto a quel sistema di riferimento in caduta per un breve tempo, lo spazio-tempo è quello piatto di Minkowski . Hanno esperienza di ciò gli astronauti quando sono parcheggiati in orbite terrestri stazionarie (in effetti è come se cadessero liberamente). All'interno delle loro navicelle essi esperimentano la gravità zero. Qui sulla terra è possibile verificare quanto detto per breve tempo quando, per esempio, un aereo prende un vuoto d'aria o in certi giochi al lunapark. Il fatto che lo spazio-tempo sia incurvato dalle masse che vi creano il campo gravitazionale è un concetto al di fuori dell'esperienza comune. In uno spazio curvo non valgono le regole e le proprietà della geometria euclidea, che è la geometria della nostra vita quotidiana. Per chiarire meglio questo concetto consideriamo un sistema di riferimento inerziale K ed un sistema di riferimento K' non inerziale in rotazione uniforme rispetto a K. Consideriamo anche una circonferenza solidale con K : Rispetto a K il rapporto fra la circonferenza in quiete ed il suo diametro è π. Rispetto a K' che ruota in senso antiorario la circonferenza viene vista ruotare in senso orario. Ogni piccolo segmento della circonferenza viene visto da K' muoversi con una certa velocità v. In un certo istante ogni piccolo segmento di cui è formata la circonferenza viene visto contrarsi rispetto a K' secondo la legge della contrazione di Lorentz per cui il rapporto fra circonferenza e diametro è, rispetto a K', diverso da π (il diametro non subisce la contrazione di Lorentz perchè non si muove rispetto a K' nel senso della sua lunghezza).











 
Con questo semplice esempio si dimostra che lo spazio rispetto ad un sistema di riferimento accelerato non è piatto ma è curvo, in quanto non valgono più le regole della geometria euclidea e ricordando la precedente affermazione : "in fisica è reale cio’ che è misurabile" ne derivea che la dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezze sarebbero effettive (o, il che è equivalente, assolute) e, quindi, si puo’ affermare che poichè un campo gravitazionale è equivalente a un sistema di riferimento accelerato, lo spazio-tempo viene incurvato da un campo gravitazionale.

E’ questo il principio fondamentale della Relatività Generale : la forza peso deriva dalla curvatura indotta dalle masse nello spazio – tempo.

A questo punto Marius, che si è sempre chiesto quale potesse essere la reale natura della forza di gravità, avrebbe potuto ritenersi soddisfatto, ma fortunatamente non è andata cosi’.

Stefano Gusman