MT vs RG

La Relatività Generale generalizza ed estende la Relatività Speciale ai sistemi non inerziali sotto il postulato del moto di caduta libera dei corpi : "in regioni indefinitamente piccole dello spazio - tempo per le quali sia possibile un'accelerazione del sistema di coordinate tale che non sia indotto alcun campo gravitazionale, vale ancora la RS e, cioe', l'invarianza del termine ds^2 = - (dx1)^2 - (dx2)^2 - (dx3)^2 + (cdt)^2.

Per quanto sopra tutti gli effetti di curvatura dello spazio - tempo tra due sistemi di riferimento distinti e non inerziali in moto relativo uno rispetto al'altro si manifestano e sono osservabili solo dall’uno nell’altro e viceversa.

In RG la forza di gravità dipende dall'accelerazione indotta in una massa dalla curvatura dello spazio – tempo circostante generata da un'altra massa. Il peso della massa in caduta libera sarebbe, quindi, una forza apparente di origine elettromagnetica (repulsiva tra nubi elettroniche) dovuta all'opposizione di una superficie a tale moto. Quindi anche il peso di un uomo sulla terra sarebbe dovuto a questa accelerazione (potenziale) indotta dalla curvatura prodotta nello S – T dal centro di massa della terra. Ma si è detto che la curvatura si manifesta solo tra sistemi non inerziali in moto relativo l'uno rispetto all'altro quindi, in realta', per la stessa RG noi non dovremmo avvertire alcun peso. In un sistema di riferimento stazionario rispetto al centro di massa della terra, quale quello solidale a un uomo con i piedi ben piantati per terra, non esiste alcuna traiettoria cinematica e, quindi, nessuna derivata prima e seconda. L'accelerazione viene aggiunta in un secondo momento sulla base di un presunto moto (potenziale) di caduta libera, ma si tratta di un mero artificio matematico che vale quanto la Legge di Newton che, forse, applicando il teorema del guscio sferico spiega anche meglio come si sviluppa la gravita' all'interno della superficie terrestre e perché al centro della terra essa valga zero.

Come gia’ detto La Relatività Generale descrive l'interazione gravitazionale non più come azione a distanza fra corpi massivi, come era nella teoria newtoniana, ma come effetto di una legge fisica che lega distribuzione e flusso nello spazio-tempo di massa, energia e impulso con la geometria (più specificamente, con la curvatura) dello spazio-tempo medesimo.

La geometria dello spazio-tempo, in particolare, determina quali sistemi di riferimento siano inerziali: sono quelli associati a osservatori in caduta libera, che si muovono lungo traiettorie geodetiche dello spazio-tempo. La forza peso risulta in questo modo una forza apparente osservata nei riferimenti non inerziali.

Il Principio di Equivalenza afferma : la massa inerziale e la massa gravitazionale di un corpo hanno lo stesso valore. Questa uguaglianza è un fatto sperimentale che non discende da alcun principio della fisica classica ; i ruoli di queste due quantità sono infatti ben diversi: la massa inerziale misura quanto il corpo si opponga all'applicazione di una forza, come enunciato dal secondo principio della dinamica. La massa gravitazionale misura invece la capacità di un corpo di attrarne un altro secondo la Legge della Gravitazione Universale. Il fatto che queste due quantità risultino sperimentalmente coincidere implica il fatto, osservato già da Galileo intorno al 1590, che la traiettoria di un corpo in caduta libera non dipende dalle proprietà del corpo. Einstein formulo’ il seguente esperimento mentale. Si consideri un osservatore situato all'interno di una stanza chiusa. Se la stanza è poggiata sulla superficie terrestre, l'osservatore percepisce una forza verso il basso dovuta alla gravità: lanciando una palla in terra potrà misurarne l'entità. Se la stanza è invece nello spazio, lontana da campi gravitazionali, contenuta in un razzo che sta accelerando verso l'alto, l'osservatore percepisce anche in questo caso una forza verso il basso: questa forza, dovuta all'inerzia del suo corpo, è la stessa forza che percepiamo normalmente alla partenza e all'arrivo in un ascensore. L'uguaglianza mi = mg ha come conseguenza il fatto seguente: l'osservatore non può in alcun modo capire se l'accelerazione che sente sia dovuta ad un campo gravitazionale o ad un'accelerazione. Analogamente, se la stanza è in caduta libera verso (ad esempio) la Terra, l'osservatore al suo interno non percepisce alcuna forza di gravità: se lascia cadere una moneta, osserva che questa non cade al suolo ma resta sospesa a mezz'aria. L'osservatore non ha nessuno strumento per capire se è in una zona dell'universo senza campi gravitazionali, o se invece sta cadendo verso un pianeta.

Vediamo la questione da un punto di vista piu’ strettamente matematico

L'equazione di campo di Einstein descrive la curvatura dello spazio tempo, in funzione della densità di materia, dell'energia e della pressione, rappresentate tramite il Tensore Stress– Energia T.

A sinistra compare il Tensore di curvatura di Ricci che misura la curvatura di una varietà riemanniana,ovvero di una varietà differenziabile su cui sono definite le nozioni di distanza, lunghezza, geodetica,area (o volume).

La nozione di varietà differenziabile è una generalizzazione del concetto di curva e di superficie differenziabile in n dimensioni arbitrarie. Così come una curva differenziabile è un oggetto che localmente assomiglia ad una retta, o una superficie che localmente assomiglia ad un piano, una varietà n-dimensionale somiglierà localmente ad uno spazio euclideo n-dimensionale. L'aggettivo "differenziabile" indica il fatto che questa "somiglianza" locale garantisce la possibilità di associare univocamente in ogni punto uno “spazio tangente” della stessa dimensione della varietà (come ad esempio una retta tangente a una curva o un piano tangente a una superficie).

Lo spazio tempo di Minkowski è lo spazio R^4 dotato del tensore  g che può essere riassunto nella forma :

: ds^2 = -c^2dt^2 +dx^2 +dy^2 +dz^2

Nell'equazione di campo a destra compare il Tensore Energia - Impulso, anche detto Tensore Energia Momento o Tensore Stress - Energia che descrive il flusso di energia e quantità di moto associate ad un campo

Il tensore energia impulso fornisce il flusso della quantità di moto attraverso una ipersuperficie. In RG la quantità di moto è il quadrimpulso. In RS il quadrimpulso è la generalizzazione quadrivettoriale della quantità di moto della meccanica classica, cioè è un vettore dello spazio tempo quadrimensionale sempre tangente alla linea di universo di una particella, cioè tangente alla sua traiettoria nello spaziotempo.

In meccanica lagrangiana, ogni sistema meccanico è caratterizzato da una lagrangiana che consente di descrivere il moto del sistema per mezzo delle equazioni di Eulero - Lagrange, o del Principio di Hamilton. Per il Principio Variazionale di Hamilton, l'evoluzione temporale di un sistema meccanico minimizza l'azione. La sua lagrangiana si dimostra essere la differenza tra l'energia cinetica e l'energia potenziale totale. Le equazioni di Eulero - Lagrange, per questa differenza, equivalgono al secondo principio della dinamica. Le componenti spaziali del tensore stress - energia sono quindi le componenti tridimensionali dell'impulso classico, mentre la componente temporale è l'energia divisa per la velocità della luce.

Il tensore è utilizzato per esprimere la conservazione del quadrimpulso, fornita dall'equazione di continuità.

 

Il postulato del moto di caduta libera è, quindi, un artificio volto a consentire la preventiva curvatura dello spazio - tempo e applicare il formalismo matematico che regge tutta la RG.

Per essere ancora piu' chiari : essendo la derivata di una funzione (e di derivate parziali ne compaiono negli operatori dell'equazione di campo di Einstein) il limite del rapporto incrementale al tendere a 0 dell'incremento, il postulato serve, appunto, a consentire l'esistenza di incrementi sulle traiettorie dello spazio - tempo, incrementi che, sicuramente, almeno nel caso della potenziale traiettoria di una massa posta sulla superficie terrestre, rispetto al centro di massa, non esistono.

In realtà in assenza di campo gravitazionale, lo spazio-tempo non è curvo (è lo spazio-tempo piatto di Minkowski) ; in esso possono essere scelti infiniti sistemi di riferimento inerziali e fra di essi valgono la Relatività Speciale e le trasformate di Lorentz. Un generico spazio curvo ha una proprietà molto importante che lo raccorda, per così dire, al più familiare spazio piatto euclideo. Per quanto esso possa essere incurvato, è sempre possibile considerarne una porzione nella quale esso sia praticamente piatto. Si può capire meglio il concetto considerando la superficie terrestre. Essa è uno spazio (varietà) bidimensionale curvo in cui sono definibili coordinate curvilinee quali la latitudine e la longitudine. In grande scala la curvatura della superficie terrestre è ineliminabile e gli effetti di ciò sono ben visibili a tutti. Per un muratore che sta costruendo una casa, invece, la superficie terrestre è piatta ed egli non si pone neppure il problema. In ogni spazio-tempo curvo è sempre possibile scegliere un sistema di coordinate curvilinee rispetto alle quali lo spazio-tempo è localmente piatto ed inerziale (spazio-tempo di Minkowski). Per fare questo è sufficiente immaginare un corpo che cade liberamente in un campo gravitazionale. Rispetto a questo corpo gli altri corpi liberi che cadono con lui, per un tempo limitato, appaiono soddisfare la legge d'inerzia. Quelli fermi permangono fermi, quelli in moto uniforme permangono in tale moto. Rispetto a quel sistema di riferimento in caduta per un breve tempo, lo spazio-tempo è quello piatto di Minkowski . Hanno esperienza di ciò gli astronauti quando sono parcheggiati in orbite terrestri stazionarie (in effetti è come se cadessero liberamente). All'interno delle loro navicelle essi esperimentano la gravità zero. Qui sulla terra è possibile verificare quanto detto per breve tempo quando, per esempio, un aereo prende un vuoto d'aria o in certi giochi al lunapark. Il fatto che lo spazio-tempo sia incurvato dalle masse che vi creano il campo gravitazionale è un concetto al di fuori dell'esperienza comune. In uno spazio curvo non valgono le regole e le proprietà della geometria euclidea, che è la geometria della nostra vita quotidiana. Per chiarire meglio questo concetto consideriamo un sistema di riferimento inerziale K ed un sistema di riferimento K' non inerziale in rotazione uniforme rispetto a K. Consideriamo anche una circonferenza solidale con K : 

 

Rispetto a K il rapporto fra la circonferenza in quiete ed il suo diametro è π. Rispetto a K' che ruota in senso antiorario la circonferenza viene vista ruotare in senso orario. Ogni piccolo segmento della circonferenza viene visto da K' muoversi con una certa velocità v. In un certo istante ogni piccolo segmento di cui è formata la circonferenza viene visto contrarsi rispetto a K' secondo la legge della contrazione di Lorentz per cui il rapporto fra circonferenza e diametro è, rispetto a K', diverso da π (il diametro non subisce la contrazione di Lorentz perchè non si muove rispetto a K' nel senso della sua lunghezza).

Con questo semplice esempio si dimostra che lo spazio rispetto ad un sistema di riferimento accelerato non è piatto ma è curvo, in quanto non valgono più le regole della geometria euclidea e se diamo per buona l'affermazione : "in fisica è reale cio’ che è misurabile" ne deriverebbe che la dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezze sarebbero effettive (o, il che è equivalente, assolute) e, quindi, si puo’ affermare che poichè un campo gravitazionale è equivalente a un sistema di riferimento accelerato, lo spazio-tempo viene incurvato da un campo gravitazionale.

In realtà lo spazio - tempo è visto curvo da k, ma non si curva effettivamente....nel merito il paradosso del disco rigido.

Nell’esperimento Hafele – Keating, alcuni orologi atomici posti in volo attorno alla terra su aeroplani rimasero desincronizzati rispetto a identici orologi a terra in quanto, evidentemente, accumularono un ritardo nelle fasi di moto lineare in cui valeva la RS rispetto a quelli fissi a terra e lo conservarono in fase di atterraggio quando la RS non era piu' applicabile. In MT cio' viene interpretato con l'esistenza di un sistema di riferimento assoluto per il tempo. NB : Lo stesso ragionamento non vale per le lunghezze perchè non c'è alcuna fase di accumulo, ma soltanto la contrazione misurata dal sistema di riferimento a terra.

La possibile esistenza di un sistema di riferimento assoluto per il tempo potrebbe essere dimostrata sperimentalemente dalla presenza di effetti non relativi, ma intrinsechi a un sistema di riferimento non inerziale in prolungato moto di caduta libera verso un centro di massa attrattore in grado di generare un forte gradiente di curvatura dello S – T (per es. una stella a neutroni), con un orologio al cesio che misurasse il tempo di decadimento di un atomo radioattivo e lo confrontasse quello teorico che si sarebbe misurato in caso il sistema di riferimento fosse stato stazionario.

In definitiva nella MT si conclude che poiche' la forza peso (ovvero, piu’ genericamente, la gravità), non è una forza attrattiva e non dipende dalla curvatura dello S – T, essa non puo’ che essere una forza attiva di natura compressiva (con tanto di modulo, verso e punto di applicazione), generata da un campo gravitazionale dinamico e non statico.

Stefano Gusman