"Rigid disk" paradox

Also known as the "Erhenfest paradox" it goes about a fast spinning (hypothetical) perfectly rigid disk. According to some interpretations of relativity, the perimeter of the disk must contract, while the radius stays the same. In its original formulation as presented by Paul Ehrenfest in 1909 in the Physikalische Zeitschrift, it discusses an ideally rigid cylinder that is made to rotate about its axis of symmetry. The radius R, as seen in the laboratory frame, is always perpendicular to its motion and should therefore be equal to its value R₀ when stationary. However, the circumference (2πR) should appear Lorentz - contracted to a smaller value than at rest, by the usual factor γ. This leads to the contradiction that R=R₀ and < R₀. Any rigid object made from real materials, which is rotating with the transverse velocity close to the speed of sound in this material, must exceed the point of rupture due to centrifugal force. Thus, in the case of speed of light it is only a thought experiment.
Essence of the paradox
Imagine a disk of radius R rotating with constant angular velocity ω. Let us fix the reference frame to the stationary center of the disk. Then the magnitude of the relative velocity of any point in the disk circumference is ωR. So the circumference will undergo Lorenz contraction by a factor of (1- (ω R)^2/C^2)^0,5. However the radius, being perpendicular to the direction of motion, will not undergo any contraction. So we have circumference/diameter = (2πR (1- (ω R)^2/C^2)^0,5) / 2R = π (1- (ω R)^2/C^2)^0,5. This is paradoxical, since Euclidean geometry tells us it should be exactly equal to π. Ehrenfest considered an ideally rigid cylinder that is made to rotate.

Assuming that the cylinder does not expand or contract, its radius stays the same. But measuring rods laid out along the circumference 2πR should be Lorentz-contracted to a smaller value than at rest, by the usual factor γ. This leads to the paradox that the rigid measuring rods would have to separate from one another due to Lorentz contraction; the discrepancy noted by Ehrenfest seems to suggest that a rotated rigid disk should shatter.
Paradox solution
Even to this day, there are conflicting explanations for this 'paradox'. The simplest way to look at it is from a perspective of simultaneity. There is no way to define simultaneity for the spinning disk as a whole. In simpler words, if we synchronize a clock sitting at the center of the disk with a clock at the perimeter of the stationary disk and then spin the disk, the two clocks will go out of synchronization, just like the clocks and calendars of the twins in the twin paradox did and when two observers cannot agree on the time, they will not agree on the measured lengths of moving objects.
Interpretation of paradox solution in MT.
The matter exposed further corroborates considerations of MT about effective physical consistence of space time distortions, both in SR and in GR. However these are spatial contractions and temporal dilatations measured from different (inertial or not inertial) reference systems. In the local reference system is not appreciated any de synchronization and then there isn't any lenght contraction.
Sequentially doesn't exist any curvature gradient in the disk frame and therefore it doesn't shatter.
This involves that assignement of the freefall motion and, sequentially, of the bodies weight to the space time curvature remains an arbitrary postulate.

Stefano Gusman

Il paradosso del "disco rigido"

Conosciuto anche come il “Paradosso di Ehrenfest”, riguarda un (ipotetico) disco rigido perfetto in rapida rotazione attorno al proprio asse. Secondo alcune interpretazioni della relatività, il perimetro del disco deve contrarsi, restando invariato il raggio. Per questo motivo il disco dovrebbe frantumarsi quando ruota troppo velocemente.Nella sua formulazione originale, presentata da Paul Ehrenfest nel 1909 ne la Physikalische Zeitschrift, il paradosso presenta il caso di un cilindro rigido ideale posto in rotazione attorno al suo asse di simmetria. Il raggio R “visto” dal laboratorio è sempre perpendicolare al moto e per questo dovrebbe mantenere il suo valore uguale a quello R₀ quando il cilindro è fermo. Comunque la circonferenza (2πR) dovrebbe apparire contratta secondo il “fattore di Lorenz” γ. Questo porta alla contraddizione che : R=R₀ e R < R₀. Ogni oggetto rigido fatto di un materiale reale, posto in rotazione con velocità tangenziale prossima alla velocità del suono in quel materiale, deve superare il punto di rottura dovuto alla forza centrifuga. Percio’ il caso della velocità della luce è solo un esperimento “ideale”.

Essenza del paradosso. Si immagini un disco rigido di raggio R, posto in rotazione con velocità angolare ω costante. Fissiamo il sistema di riferimento nel centro del disco. La velocità tangenziale di ogni punto della circonferenza è ωR. Quindi la circonferenza dovrebbe essere soggetta alla contrazione di Lorenz secondo il fattore (1- (ω R)^2/c^2)^0,5. In ogni caso il raggio, essendo perpendicolare alla direzione di moto, non sarà soggetto ad alcuna contrazione, cosi’ abbiamo : Circonferenza/diametro = (2πR (1- (ω R)^2/C^2)^0,5) / 2R = π (1- (ω R)^2/C^2)^0,5, il che è paradossale in quanto la geometria euclidea ci dice che dovrebbe essere esattamente pari a π.La discrepanza notata da Ehrenfest suggerisce che un disco rigido in rapida rotazione attorno al proprio asse dovrebbe disintegrarsi.

Soluzione del paradosso.
La maniera piu’ semplice per analizzare il problema è quella di considerarlo secondo la prospettiva della simultaneità. Non c’è modo di definire la simultaneità per l’intero disco rotante. In termini piu’ semplici, se noi sincronizziamo un orologio stando al centro del disco con un orologio posto al perimetro del disco quando è fermo e, successivamente, poniamo il disco in rotazione, i due orologi si desincronizzeranno, proprio come gli orologi del paradosso dei gemelli. Un osservatore posto al centro del disco e uno sul perimetro non saranno mai d’accordo sulla distanza coperta durante una rivoluzione. La ragione è che quando due osservatori non possono essere d’accordo sul tempo non lo potranno essere sulle lunghezze misurate di oggetti in movimento.

Interpretazione della soluzione al paradosso in MT.Quanto esposto avvalora ulteriormente le considerazioni esposte nella MT in merito all’effettiva consistenza fisica delle distorsioni spazio – temporali sia in RS che in RG. Si tratta, in ogni caso, di contrazioni spaziali e dilatazioni temporali misurate tra sistemi di riferimento (inerziali o non inerziali) diversi. Nel sistema di riferimento locale non viene apprezzata alcuna desincronizzazione e, quindi, non sussistono nemmeno le contrazioni delle lunghezze.
Di conseguenza non esiste alcun gradiente di curvatura nella struttura del disco rigido che, pertanto, non va in frantumi.Tanto comporta che l’attribuire il moto di caduta libera e quindi il peso dei corpi alla curvatura dello spazio – tempo resta un postulato arbitrario.

Stefano Gusman

Un "mare di luce"

In una delle prime versioni della Relatività Generale compariva la costante Λ, detta “costante cosmologica” che Einstein, in un primo momento, aveva introdotto nelle sue equazioni per impedire il collasso del suo universo statico. Una sorta di motore "intrinseco" che doveva andare a compensare l’attrazione gravitazionale che, altrimenti, avrebbe portato all’instabilità e al collasso del suo modello di universo. Successivamente le osservazioni di Hubble (non il telescopio), che mostravano un universo in espansione gli fecero affermare che quello della costante cosmologica era stato il piu' grosso errore della sua vita. Ironia della sorte lo stesso Hubble (questa volta il telescopio) ha non solo mostrato la recessione delle galassie ma, addirittura, il suo aumento di velocità. Ecco che nasce l'energia "oscura", ovvero la costante cosmologica che torna dalla finestra. Alcuni la identificano con l'energia di “punto zero” o del vuoto. Di cosa si tratterebbe ? Il concetto è che il vuoto non puo' essere completamente “vuoto”, ma deve possedere un contenuto minimo di energia in quanto, in caso contrario, sarebbe violato il principio che sta’ alla base di tutta la Meccanica Quantistica e, cioe’, il principio di indeterminazione di Heisemberg : “ non è possibile determinare con precisione posizione e quantità di moto di una particella elementare” . D’altronde nei modelli atomici l’elettrone viene descritto come la distribuzione probabilistica della carica elettrica negativa attorno al nucleo espressa dall’equazione di Shroedinger, in accordo con la doppia natura corpuscolare – ondulatoria di tale particella (cosi’ come altre “particelle” elementari tra cui il fotone). In assenza di energia nel vuoto sarebbe possibile “fotografare” una di queste sfuggenti entità il che sarebbe teoricamente impossibile, ma E = mc^2 quindi per avere energia occorre massa. Entra in gioco, allora, l’antimateria. Nel vuoto si creano continuamente coppie elettrone – positrone (l’omologo “antimateriale” dell’elettrone) che, annichilandosi, generano energia come nel diagramma di Feynman riportato in questo link :

http://ulisse.sissa.it/chiediAUlisse/domanda/2006/Ucau060415d002/

che mostra, appunto, come fotoni ad alta energia (frequenze nello spettro dei raggi gamma) possano interagire tra loro in maniera “in elastica” anche in assenza di materia (nel vuoto) generando, appunto, una coppia e+ - e-, che, annichilandosi, generano energia sotto forma di una nuova coppia di fotoni.

Ma quanta energia del vuoto sarebbe necessaria per giustificare l’accelerazione relativa tra galassie osservata negli ultimi tempi ?

Partiamo da un esempio semplice e, tramite la Legge di Newton, calcoliamo il “lavoro gravitazionale” necessario per spostare l’orbita della Terra attorno al Sole da una posizione iniziale a quella attuale.

I dati disponibili sono :
• MT : massa della Terra = 5,976 x 10^24 Kg ;
• RS : raggio equatoriale del Sole = 700.000 km = 700.000.000 m ;
• MS : massa del Sole, pari a circa 330.000 MT = 1,97 x 10^30 Kg ;
• G : 6,67259 x 10^-11 m^3 Kg^-1 sec^-2 ;
• RLim. : “raggio limite di Roche” ovvero minimo raggio dell’orbita che la Terra delle attuali dimensioni puo’ avere assunto in passato senza essere distrutta dalle forze di "marea" della gravità solare = 2,86 x RS , pari a circa 2.000.000.000 m ;
• Rm. : attuale raggio medio dell’orbita terrestre = 150.000.000 Km = 150.000.000.000 m ;
Considerando puntiforme la massa della Terra e supponendo di allontanarla dall’orbita di Roche del Sole fino a quella attuale, si ottiene una variazione di energia potenziale gravitazionale pari a : DU = G x MS x MT x (1/ RLim. – 1/ Rm.) = 3,87 x 10^35 Joule.

Tornando al diagramma di Feynman, sostituendo alla coppia e+ e- un'interazione diretta tra fotoni e utilizzando la formula E = h v, dove h = 6,626 x 10^-34 Joule sec è la costante di Planck e ν la frequenza dei fotoni imponiamo l’uguaglianza :

E = n h v = DU, (1) con n = Rm. - RLim./ SP = 9,15 x 10^45 e dove SP è lo “spazio di Planck” = 1,616 x 10^-35 m (minima dimensione di un volume in cui, teoricamente, puo' essere contenuta energia). Risulta, quindi, che n è il numero di “volumi/energia” cilindrici di altezza SP (considerando dei tubi di “flusso gravitazionale”) che si oppongono all’allontanamento della Terra dal Sole.

Dalla (1) si ottiene : v = 6,38 x 10^22 Hz, frequenza che ricade, appunto, nella porzione di spettro dei raggi gamma.

Nella teoria delle stringhe i costituenti fondamentali della materia sono oggetti ad una dimensione (le stringhe) invece che di dimensione nulla (i punti). Per questa ragione le teorie di stringa sono capaci di evitare i problemi di una teoria fisica connessi alla presenza di particelle puntiformi.

Le “linee di universo” di particelle puntiformi nel "Modello Standard", sono un foglio d'universo composto da stringhe chiuse.

http://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_delle_stringhe

Visualizziamo, cosi’, questi ipotetici tubi di flusso gravitazionale le cui sezioni sono superfici circolari (stringhe chiuse) di diametro non inferiore a SP. La “tensione di stringa” è proprio la forza che impedisce alla stringa di chiudersi in un punto e violare, cosi’, il principio di indeterminazione di Heisemberg. Le stringhe, poi, hanno la possibilità di vibrare in diversi “modi” e quindi con diverse frequenze. A ciascuna frequenza corrisponde un determinato livello di energia e, quindi, la massa associata alla particella elementare di cui la stringa è il costituente fondamentale. All’aumentare della frequenza cresce l’energia e, quindi, la particella diventa piu’ pesante. Ogni stato, nella teoria delle stringhe, corrisponde ad un tipo di particella. Ad esempio il primo livello eccitato corrisponde ad una particella di massa 0 e spin 1: il fotone. Il secondo livello è una particella di massa 0 e spin 2 : il gravitone (la famigerata a mai rilevata particella quantistica mediatrice della forza di gravità) e così via…Le stringhe, tuttavia, dovrebbero avere dimensioni dell'ordine di grandezza di 10^-35 m, tanto è vero che è impossibile rilevarle direttamente. Ora se una vibrazione dovesse avvenire con una lunghezza d'onda cosi' stretta la frequenza dovrebbe essere molto al di sopra di 10^27 Hz che è la max frequenza di fotoni gamma rilevata nello spazio dal satellite Fermi LAT…E i raggi gamma hanno una lunghezza d'onda al piu' di 10^-12 m. Come fa allora un fotone, anche altamente energetico, ad essere costituito da stringhe che vibrano in quel modo ? Dove va a finire tutta quella energia in piu' ? Un’ipotesi è che parte dei modi di vibrare delle stringhe siano “autodistruttivi” per interferenza. In alternativa parte dei modi di vibrare delle stringhe dovrebbe avvenire in altre dimensioni per dissipare l’eccesso di energia, con tutte le difficoltà concettuali e di sperimentabilità che un ipotesi di questo tipo pone.

L’interferenza distruttiva si puo’ottenere anche con onde trasversali sinusoidali, come le onde e.m., di uguali ampiezza e fase, simmetricamente polarizzate che si propagano con uguali velocità e versi opposti

Esse genererebbero, per interferenza, onde stazionarie, senza propagazione di energia, ma soltanto energia potenziale tanto piu’ elevata quanto maggiore fosse la frequenza. Quando una massa dovesse rompere, nel macro come nel microcosmo, questa simmetria dello spazio oscillante, alcuni treni d’onda comincerebbero a propagarsi creando una pressione sulla superficie della massa stessa. Per ovvie ragioni due masse sarebbero spinte l’una verso l’altra. Questa potrebbe essere una possibile spiegazione dell’effetto Casimir, dell’energia “di punto zero”, della costante cosmologica, nonché della natura stessa dell’energia “oscura” che sarebbe, in realtà, un "mare di luce" increspato dove “pezzi di materia” si allontanano l’uno dall’altro perché le onde di cui lo stesso spazio è costituito creano continuamente nuovo spazio.

Stefano Gusman

A "light sea"

In one of the first version of General Relativity appeared the cosmologic constant “Λ” that Einstein, in a first moment, had put into his equations to prevent the collapse of his static universe. A kind of “intrinsic engine” that had to compensate gravitational attraction that, otherwise, would had driven to instability and collapse of his model of universe. Afterwards Hubble’s (not the telescope) observations, showing expanding universe, drove him to say that cosmologic constant was been the greatest error of his life. Ironically the same Hubble (the telescope this time) not only has shown recession of galaxies, but also its growing up speed. Really the cosmologic constant that came back through the window. Someone identifies it as “zero point” energy or “vacuum energy”. But what really is it ? The concept is that vacuum can’t be completely “empty”, but must to have a minimum contents of energy because, in the opposite way, would be violated the basic principle of Quantum Mechanics, that is Heisemberg’s uncertainty principle :”it’s impossibile to determinate with precision position and quantum motion of an elementary particle”.Yet in the atomic models electron is described as a probalistic scattering of electric negative charge around the nucleus, expressed by Shroedinger’s equation, according with its double nature wave-particle (as another elementary particle : the photon). Without energy in vacuum would be possible to “photograph” one of these “shifty” entity, that is theorically impossibile ; but E = mc^2, so to have energy it is necessary to have mass, therefore begins to play antimatter. In vacuum continuously are created couples electron – positron (the antimaterial homologous of electron) that annihilating produce energy as in Feynman diagram showing high energy photons (in gamma rays frequency ) that interacts in “inelastic way” , also without matter, generating exactly a couple e+ e- that, annihilating, produce energy with the form of a new couple of photons :
http://ulisse.sissa.it/chiediAUlisse/domanda/2006/Ucau060415d002/
But how many energy is necessary to justify the relative acceleration between galaxies observed in the last time?Let’s start out with a simple example and let’s calculate, with Newton’s law, the “gravitational job” necessary to move the eartly orbit around the Sun from an initial position to the actual one.Dates available are the following ones :

• MT : Earth’s mass = 5,976 x 10^24Kg ;
• RS : Sun’s equatorial ray = 700.000 km = 700.000.000 m ;
• MS : Sun’s mass nearly 330.000 MT = 1,97 x 10^30Kg ;
• G : universal gravitational constant = 6,67259 x 10-11 m^3 Kg^-1 sec^-2;
• RLim. : Roche’s limit ray = 2,86 x RS nearly 2.000.000.000 m ;
• Rm. : actual medium Earth’s orbital ray = 150.000.000 Km = 150.000.000.000 m.

Coming back to Feynman diagram, changing the couple e+ e- with a direct interaction between photons and using the formula E = hv, where h = 6,626 x 10^-34 Joule sec is Planck’s constant and v is the frequency of photon, let’s impose : (1) DU = nhv, with n = Rm. - RLim./ SP = 9,15 x 10^45, where SP = 1,616 x 10^-35 m is “Planck’s space (minimum dimension of a volume in wich, theoretically, can be contained energy). So results that n is the number of cilindric “volumes/energy” with height = SP (considering gravitational “pipeflows”) that work against the sending away of Earth from the Sun. From (1) we obtain v = 6,38 x 10^22 Hz, that is precisely a frequency in the share of spectre of gamma rays.

In the string theory the fundamental constituents of matter are one dimension objects (the strings), instead zero dimension points. For this reason string theory is able to avoid problems connected to presence of point particles. The “universe lines” of Standard Model are a “world sheet” composed by closed strings. So we can immagine these gravitational pipeflows with sections that are circular surfaces with diameter not lower than SP. The “string tension” is exactly the force that forbid the string closing in a point in violation of Heisemberg’s uncertainty principle. Then strings can vibrate in different ways, therefore with different frequencies. To each frequency is linked a well defined energy level and therefore the mass associated to the elementary particle of which the string is the fundamental constituent. With the increase of frequency grows energy, therefore particle become heavier. In the string theory each state corresponds to a kind of particle. For example to the first excitated level corresponds a particle with 0 mass and spin 1 : the photon. The second level is a particle with 0 mass and spin 2 : the graviton (the “famous” and never detected quantum medium particle of gravity force) and so that. However strings would have dimension with order of size around 10^-35 therefore, in the thruth, it’s impossibile to detect it directly. Now if a vibration would have to happen with a so tight lenght of wave, frequency would be more higher then 10^27 Hz, that is the highest frequency detected in the space by satellite Fermi LAT ; and gamma rays have a wave lenght at the most 10^-12 m. Then how can a photon, also if it’s an highly energetic one, to be made up by strings vibrating in this way ? Where goes to end all that surplus of energy ? An answer could be that part of vibration ways of the strings would be “autodestructive” by interference. As an alternative, part of the vibration ways would have to be in other dimensions to dissipate there the surplus of energy, with all the conceptual difficulties that this option takes on.

Destructive interference can be obtained also with transversal sinusoidal waves, like electromagnetic ones, symmetrically polarized, propagating with opposite directions and same speed, size and frequency. These waves would generate standing ones without propagation of energy, but only potential one, so more high then bigger the frequency

When a mass would break, in micro as in macro cosmos, this simmetry of undulating space, some trains of waves would start to propagate creating a pressure on the surface of the same mass.

For obvious reasons two masses would be pushed one towards the other. This one could be a possible explanation of “Casimir’s effect”, “zero point energy”, cosmologic constant and the same nature of “dark energy” that would be, in the thruth, a rippled "sea of light" where pieces of matter drive away the one to the other because the waves constituting the same space, create continuously new space.

Stefano Gusman