MT vs RG

La Relatività Generale generalizza ed estende la Relatività Speciale ai sistemi non inerziali sotto il postulato del moto di caduta libera dei corpi : "in regioni indefinitamente piccole dello spazio - tempo per le quali sia possibile un'accelerazione del sistema di coordinate tale che non sia indotto alcun campo gravitazionale, vale ancora la RS e, cioe', l'invarianza del termine ds^2 = - (dx1)^2 - (dx2)^2 - (dx3)^2 + (cdt)^2.

Per quanto sopra tutti gli effetti di curvatura dello spazio - tempo tra due sistemi di riferimento distinti e non inerziali in moto relativo uno rispetto al'altro si manifestano e sono osservabili solo dall’uno nell’altro e viceversa.

In RG la forza di gravità dipende dall'accelerazione indotta in una massa dalla curvatura dello spazio – tempo circostante generata da un'altra massa. Il peso della massa in caduta libera sarebbe, quindi, una forza apparente di origine elettromagnetica (repulsiva tra nubi elettroniche) dovuta all'opposizione di una superficie a tale moto. Quindi anche il peso di un uomo sulla terra sarebbe dovuto a questa accelerazione (potenziale) indotta dalla curvatura prodotta nello S – T dal centro di massa della terra. Ma si è detto che la curvatura si manifesta solo tra sistemi non inerziali in moto relativo l'uno rispetto all'altro quindi, in realta', per la stessa RG noi non dovremmo avvertire alcun peso. In un sistema di riferimento stazionario rispetto al centro di massa della terra, quale quello solidale a un uomo con i piedi ben piantati per terra, non esiste alcuna traiettoria cinematica e, quindi, nessuna derivata prima e seconda. L'accelerazione viene aggiunta in un secondo momento sulla base di un presunto moto (potenziale) di caduta libera, ma si tratta di un mero artificio matematico che vale quanto la Legge di Newton che, forse, applicando il teorema del guscio sferico spiega anche meglio come si sviluppa la gravita' all'interno della superficie terrestre e perché al centro della terra essa valga zero.

Come gia’ detto La Relatività Generale descrive l'interazione gravitazionale non più come azione a distanza fra corpi massivi, come era nella teoria newtoniana, ma come effetto di una legge fisica che lega distribuzione e flusso nello spazio-tempo di massa, energia e impulso con la geometria (più specificamente, con la curvatura) dello spazio-tempo medesimo.

La geometria dello spazio-tempo, in particolare, determina quali sistemi di riferimento siano inerziali: sono quelli associati a osservatori in caduta libera, che si muovono lungo traiettorie geodetiche dello spazio-tempo. La forza peso risulta in questo modo una forza apparente osservata nei riferimenti non inerziali.

Il Principio di Equivalenza afferma : la massa inerziale e la massa gravitazionale di un corpo hanno lo stesso valore. Questa uguaglianza è un fatto sperimentale che non discende da alcun principio della fisica classica ; i ruoli di queste due quantità sono infatti ben diversi: la massa inerziale misura quanto il corpo si opponga all'applicazione di una forza, come enunciato dal secondo principio della dinamica. La massa gravitazionale misura invece la capacità di un corpo di attrarne un altro secondo la Legge della Gravitazione Universale. Il fatto che queste due quantità risultino sperimentalmente coincidere implica il fatto, osservato già da Galileo intorno al 1590, che la traiettoria di un corpo in caduta libera non dipende dalle proprietà del corpo. Einstein formulo’ il seguente esperimento mentale. Si consideri un osservatore situato all'interno di una stanza chiusa. Se la stanza è poggiata sulla superficie terrestre, l'osservatore percepisce una forza verso il basso dovuta alla gravità: lanciando una palla in terra potrà misurarne l'entità. Se la stanza è invece nello spazio, lontana da campi gravitazionali, contenuta in un razzo che sta accelerando verso l'alto, l'osservatore percepisce anche in questo caso una forza verso il basso: questa forza, dovuta all'inerzia del suo corpo, è la stessa forza che percepiamo normalmente alla partenza e all'arrivo in un ascensore. L'uguaglianza mi = mg ha come conseguenza il fatto seguente: l'osservatore non può in alcun modo capire se l'accelerazione che sente sia dovuta ad un campo gravitazionale o ad un'accelerazione. Analogamente, se la stanza è in caduta libera verso (ad esempio) la Terra, l'osservatore al suo interno non percepisce alcuna forza di gravità: se lascia cadere una moneta, osserva che questa non cade al suolo ma resta sospesa a mezz'aria. L'osservatore non ha nessuno strumento per capire se è in una zona dell'universo senza campi gravitazionali, o se invece sta cadendo verso un pianeta.

Vediamo la questione da un punto di vista piu’ strettamente matematico

L'equazione di campo di Einstein descrive la curvatura dello spazio tempo, in funzione della densità di materia, dell'energia e della pressione, rappresentate tramite il Tensore Stress– Energia T.

A sinistra compare il Tensore di curvatura di Ricci che misura la curvatura di una varietà riemanniana,ovvero di una varietà differenziabile su cui sono definite le nozioni di distanza, lunghezza, geodetica,area (o volume).

La nozione di varietà differenziabile è una generalizzazione del concetto di curva e di superficie differenziabile in n dimensioni arbitrarie. Così come una curva differenziabile è un oggetto che localmente assomiglia ad una retta, o una superficie che localmente assomiglia ad un piano, una varietà n-dimensionale somiglierà localmente ad uno spazio euclideo n-dimensionale. L'aggettivo "differenziabile" indica il fatto che questa "somiglianza" locale garantisce la possibilità di associare univocamente in ogni punto uno “spazio tangente” della stessa dimensione della varietà (come ad esempio una retta tangente a una curva o un piano tangente a una superficie).

Lo spazio tempo di Minkowski è lo spazio R^4 dotato del tensore  g che può essere riassunto nella forma :

: ds^2 = -c^2dt^2 +dx^2 +dy^2 +dz^2

Nell'equazione di campo a destra compare il Tensore Energia - Impulso, anche detto Tensore Energia Momento o Tensore Stress - Energia che descrive il flusso di energia e quantità di moto associate ad un campo

Il tensore energia impulso fornisce il flusso della quantità di moto attraverso una ipersuperficie. In RG la quantità di moto è il quadrimpulso. In RS il quadrimpulso è la generalizzazione quadrivettoriale della quantità di moto della meccanica classica, cioè è un vettore dello spazio tempo quadrimensionale sempre tangente alla linea di universo di una particella, cioè tangente alla sua traiettoria nello spaziotempo.

In meccanica lagrangiana, ogni sistema meccanico è caratterizzato da una lagrangiana che consente di descrivere il moto del sistema per mezzo delle equazioni di Eulero - Lagrange, o del Principio di Hamilton. Per il Principio Variazionale di Hamilton, l'evoluzione temporale di un sistema meccanico minimizza l'azione. La sua lagrangiana si dimostra essere la differenza tra l'energia cinetica e l'energia potenziale totale. Le equazioni di Eulero - Lagrange, per questa differenza, equivalgono al secondo principio della dinamica. Le componenti spaziali del tensore stress - energia sono quindi le componenti tridimensionali dell'impulso classico, mentre la componente temporale è l'energia divisa per la velocità della luce.

Il tensore è utilizzato per esprimere la conservazione del quadrimpulso, fornita dall'equazione di continuità.

 

Il postulato del moto di caduta libera è, quindi, un artificio volto a consentire la preventiva curvatura dello spazio - tempo e applicare il formalismo matematico che regge tutta la RG.

Per essere ancora piu' chiari : essendo la derivata di una funzione (e di derivate parziali ne compaiono negli operatori dell'equazione di campo di Einstein) il limite del rapporto incrementale al tendere a 0 dell'incremento, il postulato serve, appunto, a consentire l'esistenza di incrementi sulle traiettorie dello spazio - tempo, incrementi che, sicuramente, almeno nel caso della potenziale traiettoria di una massa posta sulla superficie terrestre, rispetto al centro di massa, non esistono.

In realtà in assenza di campo gravitazionale, lo spazio-tempo non è curvo (è lo spazio-tempo piatto di Minkowski) ; in esso possono essere scelti infiniti sistemi di riferimento inerziali e fra di essi valgono la Relatività Speciale e le trasformate di Lorentz. Un generico spazio curvo ha una proprietà molto importante che lo raccorda, per così dire, al più familiare spazio piatto euclideo. Per quanto esso possa essere incurvato, è sempre possibile considerarne una porzione nella quale esso sia praticamente piatto. Si può capire meglio il concetto considerando la superficie terrestre. Essa è uno spazio (varietà) bidimensionale curvo in cui sono definibili coordinate curvilinee quali la latitudine e la longitudine. In grande scala la curvatura della superficie terrestre è ineliminabile e gli effetti di ciò sono ben visibili a tutti. Per un muratore che sta costruendo una casa, invece, la superficie terrestre è piatta ed egli non si pone neppure il problema. In ogni spazio-tempo curvo è sempre possibile scegliere un sistema di coordinate curvilinee rispetto alle quali lo spazio-tempo è localmente piatto ed inerziale (spazio-tempo di Minkowski). Per fare questo è sufficiente immaginare un corpo che cade liberamente in un campo gravitazionale. Rispetto a questo corpo gli altri corpi liberi che cadono con lui, per un tempo limitato, appaiono soddisfare la legge d'inerzia. Quelli fermi permangono fermi, quelli in moto uniforme permangono in tale moto. Rispetto a quel sistema di riferimento in caduta per un breve tempo, lo spazio-tempo è quello piatto di Minkowski . Hanno esperienza di ciò gli astronauti quando sono parcheggiati in orbite terrestri stazionarie (in effetti è come se cadessero liberamente). All'interno delle loro navicelle essi esperimentano la gravità zero. Qui sulla terra è possibile verificare quanto detto per breve tempo quando, per esempio, un aereo prende un vuoto d'aria o in certi giochi al lunapark. Il fatto che lo spazio-tempo sia incurvato dalle masse che vi creano il campo gravitazionale è un concetto al di fuori dell'esperienza comune. In uno spazio curvo non valgono le regole e le proprietà della geometria euclidea, che è la geometria della nostra vita quotidiana. Per chiarire meglio questo concetto consideriamo un sistema di riferimento inerziale K ed un sistema di riferimento K' non inerziale in rotazione uniforme rispetto a K. Consideriamo anche una circonferenza solidale con K : 

 

Rispetto a K il rapporto fra la circonferenza in quiete ed il suo diametro è π. Rispetto a K' che ruota in senso antiorario la circonferenza viene vista ruotare in senso orario. Ogni piccolo segmento della circonferenza viene visto da K' muoversi con una certa velocità v. In un certo istante ogni piccolo segmento di cui è formata la circonferenza viene visto contrarsi rispetto a K' secondo la legge della contrazione di Lorentz per cui il rapporto fra circonferenza e diametro è, rispetto a K', diverso da π (il diametro non subisce la contrazione di Lorentz perchè non si muove rispetto a K' nel senso della sua lunghezza).

Con questo semplice esempio si dimostra che lo spazio rispetto ad un sistema di riferimento accelerato non è piatto ma è curvo, in quanto non valgono più le regole della geometria euclidea e se diamo per buona l'affermazione : "in fisica è reale cio’ che è misurabile" ne deriverebbe che la dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezze sarebbero effettive (o, il che è equivalente, assolute) e, quindi, si puo’ affermare che poichè un campo gravitazionale è equivalente a un sistema di riferimento accelerato, lo spazio-tempo viene incurvato da un campo gravitazionale.

In realtà lo spazio - tempo è visto curvo da k, ma non si curva effettivamente....nel merito il paradosso del disco rigido.

Nell’esperimento Hafele – Keating, alcuni orologi atomici posti in volo attorno alla terra su aeroplani rimasero desincronizzati rispetto a identici orologi a terra in quanto, evidentemente, accumularono un ritardo nelle fasi di moto lineare in cui valeva la RS rispetto a quelli fissi a terra e lo conservarono in fase di atterraggio quando la RS non era piu' applicabile. In MT cio' viene interpretato con l'esistenza di un sistema di riferimento assoluto per il tempo. NB : Lo stesso ragionamento non vale per le lunghezze perchè non c'è alcuna fase di accumulo, ma soltanto la contrazione misurata dal sistema di riferimento a terra.

La possibile esistenza di un sistema di riferimento assoluto per il tempo potrebbe essere dimostrata sperimentalemente dalla presenza di effetti non relativi, ma intrinsechi a un sistema di riferimento non inerziale in prolungato moto di caduta libera verso un centro di massa attrattore in grado di generare un forte gradiente di curvatura dello S – T (per es. una stella a neutroni), con un orologio al cesio che misurasse il tempo di decadimento di un atomo radioattivo e lo confrontasse quello teorico che si sarebbe misurato in caso il sistema di riferimento fosse stato stazionario.

In definitiva nella MT si conclude che poiche' la forza peso (ovvero, piu’ genericamente, la gravità), non è una forza attrattiva e non dipende dalla curvatura dello S – T, essa non puo’ che essere una forza attiva di natura compressiva (con tanto di modulo, verso e punto di applicazione), generata da un campo gravitazionale dinamico e non statico.

Stefano Gusman

MT vs GR

General Relativity generalizes and extends Special Relativity to not-inertial reference systems under the assumption of bodies free fall motion : " in indefinitely small spacetime regions in which it is possible such coordinate system acceleration that is not induced any gravitational field, is still valid SR that is the invariance of the term : ds ^ 2 = - (dx1) ^ 2 - (dx2) ^ 2 - (dx3) ^ 2 + (cdt) ^ 2.
As above all the effects of spacetime curvature between two distinct and not-inertial reference systems, in relative motion one with respect to the other, occur and are observable only from one into the other and viceversa.
In RG gravity force depends on the acceleration induced in a mass by sourronding spacetime curvature generated by another mass.Therefore the free-falling mass weight would an apparent strength of electromagnetic origin (repulsive between electronic clouds) due to the opposition of a surface to such motion. So the weight of a man on Earth would be due to this potential acceleration induced by S - T curvature by Earth center mass. But it was said that curvature occurs only between not-inertial systems moving relative each to the other so in reality, for the same GR, we should not feel any weight. In a stationary reference frame, with respect to the center of mass of the Earth, such as the one fixed to a man with his feet firmly on the ground, there is no kinematics trajectory and, therefore, no first and second derivatives. Acceleration is added, at a later date, on the basis of an alleged (potential) free fall motion. but it is a mere mathematical artifice, and perhaps, applying spherical shelltheorem, law of Newton better explains how gravity develops under Earth's surface and why it is worth zero in the center.

As just said General Relativity describes the gravitational interaction not as a distance action between massive bodies, as it was in the Newtonian theory, but as a result of a physical law that binds and flow distribution in spacetime of mass, energy and momentum with the geometry ( more specifically, with the curvature) of the spacetime itself.
The geometry of spacetime, in particular, determines which are inertial reference systems: are those ones associated with observers in free fall, which move along geodesic trajectories of spacetime. The weight force is, in this way, an apparent force observed in not-inertial references systems.
Equivalence Principle states that inertial mass and gravitational mass of a body have the same value. This equality is an experimental fact that it does not follow from any principle of classical physics ;in fact the roles of these two quantities are very different: the inertial mass measures how the body prevents the application of a force, as stated by the second law of motion, instead gravitational mass measures the ability of a body to attract another mass, according to the law of universal gravitation.
The fact that these two quantities experimentally found to coincide implies the fact, already observed by Galileo around 1590, that the trajectory of a body in free fall is not dependent on the properties of the body.
Einstein issued the following thought experiment. Consider an observer located inside a closed room. If the room is resting on the earth's surface, the observer perceives a downward force due to gravity: throwing a ball into the ground you can measure the size. If the room is instead in space, away from gravitational fields, contained in a rocket accelerating upwards, the observer perceives, in this case also, a downward force: this force, due to the inertia of his body, is the same force that normally is perceived in the departure and arrival in an elevator. The equality results in the following fact: the observer can not in any way to find out whether he feels is due to a gravitational field or an acceleration.
Similarly, if the room is in a free fall to (for example) the Earth, the viewer inside receives no gravity: if he drops a coin notes that this does not fall to the ground but remains suspended in mid-air . The observer has no means to understand if it is in a universe without gravitational fields, or if it is falling towards a planet.

Let’s see the question from a more closely mathematical point of view.
Einstein field equation describes the spacetime curvature depending on the density of matter, energy and pressure, represented by the stress-energy tensor T.
 

In the left of the equation appears the Ricci curvature tensor that measures the curvature of a Riemannian manifold that is a differentiable manifold on which are defined the notions of distance, length, geodesics, area (or volume).
The notion of a differentiable manifold is a generalization of the concept of curve and surface differentiable in arbitrary n dimensions. As well as a differentiable curve is an object which locally resembles a straight line, or a surface that locally resembles a plane, locally an n-dimensional manifold looks to an n-dimensional Euclidean space. The adjective "differentiable" indicates the fact that this local "similarity" guarantees the ability to uniquely associate each point in a "tangent space" of the same size of the manifold (such as a tangent line to a curve, or a tangent plane to a surface).
Minkowski spacetime is the R^4 space with the g yensor summarized in the form :

ds^2 = -(cdt)^2+dx^2+dy^2+dz^2
 
The Energy-Momentum tensor, also called Stress Energy Tensor, describes the energy and momentum flow associated with the field.
In General Relativity motion quantity is the four-momentum. In Special Relativity the four- vector is the  quadrivectorial generalization of classical mechanics momentum, which is a four-dimensional spacetime vector always tangent to a particle world line, that is tangent to its trajectory.
 
In lagrangian mechanics, every mechanical system is characterized by a Lagrangian which allows to describe motion system by means of Euler-Lagrange equations, or the Hamilton Principle.
Its importance is fundamental in classical mechanics and in many areas of physics, as it allows to derive the motion equations of the system (excluding the influence of non-conservative forces).
For the variational principle of Hamilton, the temporal evolution of a mechanical system minimizes the action. Its Lagrangian proves to be the difference between the kinetic energy and total potential energy. For this difference the Euler-Lagrange equations is equivalent to the second law of dynamics.

On the right of field equation appears the Sress – Energy Tensor that express the conservation of the four-vector, given by the continuity equation.

Therefore free fall postulate is an artifice designed to enable the prior space - time curvature and apply the mathematical formalism that holds all GR.

To be even more clear: since the derivative of a function (and partial derivatives appear in the mathematical operators of Einstein field equation) is the limit of the incremental quotient tending increment to 0, the postulate, in fact, allows existence of increments on spacetime trajectories, increments that, surely, at least in the case of the potential trajectory of a mass placed on the surface of the earth do not exist with respect to the mass center.

In fact, without gravitational fields space time isn’t curved (it is the Minkowsky’s plane space – time) ; in it can be chosen infinite inertial reference systems and between them are valid Special Relativity and Lorentz transformations. A general curved space – time has a much important property that connects it, as we can say, to the most familiar euclideus plane space. As far as it could be curved, it’s always possible to consider a little portion of it where it's practically plane. We can better understand this concept considering earthly surface. It's a two dimensional space (variety) curved where we can define curvilinear coordinates as latitude and longitude. In great scale we can’t take away the curvature of earthly surface and the effects are well visible to all. Instead for a mason building an house earthly surface is plane and he doesn’t mind of the problem. In every curved space – time it's always possible to choose a reference system respect on which space – time is locally plane and inertial (Minkowski’s space – time).
To do it is sufficient to imagine a body that falls down free in a gravitational field. Respect to this body, for a limited time, the other free bodies falling down with it look to satisfy the inertia law. The ones standing keep standing, the ones in uniform motion get on in this way. Respect to this reference system, falling down for a short time, space – time is the plane Minkowski’s one of SR. The astronauts have experience of this when they are parked on earthly stationary orbits (In effect it is the same thing as they really would fall down freely). In their space craft they test zero gravity. Here on the Earth is possible to verify this for a short time when, for example, an airplane gets an air vacuum or in some games at lunapark.
The fact that space – time is curved by masses that create gravitational field is a concept outside commune experience. In a curved space – time are invalid the rules and the properties of euclideus geometry, that is the geometry of our daily life.
To clarify better this concept let's consider an inertial reference system K and a not inertial reference system K’ in uniform rotation respect to K. Let's consider also a circumference tied with K.


Respect to K the fraction between the circumference and its diameter is π. Respect to K’, that rotates in a clockwise direction, the circumference is seen rotating in the opposite way. Every little segment of the circumference is seen from K’ moving on with v speed. For some instant every little segment by which is made up the circumference is seen contracting respect to K’ in accord with the Lorentz contraction law for which the fraction between circumference and its diameter is, respect to K’, unequal of π (diameter doesn’t be subjected to the Lorentz contraction for the reason that it doesn’t move respect to K’ in the sense of its length).
This simple example shows that space, respect to an accelerated reference system, is not plane but is curved, for the reason that are not valid the rules of euclideus geometry and so, remembering the precedent statement : “in physics is real what is measurable", we could say that time dilatation and lenght contraction are real (or, that is the same thing, absolute) and that since a gravitational field is equivalent to an accelerated reference system, space – time is curved by a gravitational field.
This is the fundamental principle of General Relativity : weight force is due to the curvature induced by masses in the space – time.
In reality space - time is seen curved by k but it does not bend .... About the rigid disk paradox.

In the Hafele - Keating experiment some atomic clocks placed in aircraft flighting around the Earth remained desynchronized than identical clocks on the ground. The reason was that they accumulated delay during linear motion phases, in which worked RS, than those fixed to the ground, and mainteined it in landing when RS was no longer applicable. In MT this way is interpreted with the existence of an absolute reference system for the time. The same reasoning does not apply to the lengths because there is no accumulation phase, but only contraction measured by the system ground reference.
The possible existence of a absolute reference system for the time could be experimentally demonstrated by the presence of not relative effects but intrinsic to a noT-inertial reference system in prolonged free fall motion towards a center mass attractor capable of generating a strong S – T curvature gradient (ex. a neutron star), with a cesium clock which measures time decay of a radioactive atom and would compare it to the theoretical one that would be measured if the reference system standing. Obiouvsly this experiment is impossible.
 
Ultimately in MT it is conclude that since 'the weight force  (more' generically gravity), is not an attractive force and not depends on S - T curvature, it can not 'be than an active pushing force (with application point, modulus and direction),generated by a dynamic and not static gravitational field.


Stefano Gusman